Agréable sur prise dans le sujet B de la banque d'épreuves PT, qu'ont eu à résoudre hier les candidats. L'un des problèmes s'intéressait à la spirale d'Archimède (équation polaire r=ϴ) et demandait de calculer par des moyens élémentaires l'aire de la partie hachurée représentée ci-dessous (désolé pour ce petit schéma, griffonné et photographié en surveillant l'épreuve !) .
Pas question d'intégrer r^2 dϴ car les courbes en polaires ont disparu des programmes de sup, au profit de convergences dominées (... sauf par les candidats !). Au lieu de cela, l'énoncé proposait de retrouver la démarche d'Archimède (
né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort en cette ville en 212 av. J.-C.), qui consiste à diviser l'intervalle [0, 2 π] en n parties en introduisant les t_k =2 kπ/n .
L'aire limitée par la courbe dans le secteur angulaire t_k <=ϴ <=t_k+1 est donc comprise entre
deux aires limitées par des cercles de rayon respectif t_k et t_k+1.
Il reste à sommer pour k variant de 0 à n-1 pour obtenir un encadrement de l'aire cherchée. On applique ensuite la formule donnant la somme des carrés puis on passe à la limite sur n pour obtenir la valeur de l'aire. Qui vaut (petit exercice proposé) ? Un joli petit problème, sans prétention, mais qui évitera peut-être de lire des bêtises dans les copies...
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