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mercredi 31 octobre 2012

Cosmologie




 


Des mathématiques à la cosmologie, il n'y a qu'un pas ; cet ouvrage pourra donc sans doute intéresser les amateurs de maths qui s'intéressent à l'astronomie et à la cosmologie :  
QUELLE EST NOTRE
PLACE DANS L'UNIVERS ?
Dialogues sur la cosmologie moderne



Suzy Collin-Zahn, Christiane Vilain

Editions de l'Harmattan
Collection Sciences et Société



ISBN : 978-2-296-99499-7 • octobre 2012 • 264 pages Prix éditeur : 27 €
La période actuelle voit surgir, à côté de théories nouvelles visant à



compléter ou unifier nos théories confirmées, de nombreuses spéculations

et interrogations sur la nature de l’univers dans son ensemble et les raisons

de notre présence sur une planète perdue dans cette immensité. Des notions

nouvelles sont apparues : inflation cosmique, matière noire et énergie noire,

cordes et boucles, principe anthropique… Pris entre l’enthousiasme et la

critique, nous ne savons plus que penser de ces domaines dont nous ne

maîtrisons pas les techniques. Il devient difficile de faire une distinction

entre ce qui est scientifique et ce qui l’est moins.

Dans ce livre, une philosophe et une scientifique débattent, souvent

âprement, en présence d’un Candide qui les ramène parfois sur terre, sans

se contraindre à adopter une position commune mais en restant dans un

cadre strictement scientifique et en évitant toute dérive spiritualiste. Elles

montrent d’abord comment s’est constituée la cosmologie moderne à

travers une démarche scientifique faite d’essais et d’erreurs, d’imagination

et de rigueur. Puis, tout en laissant au lecteur sa liberté de jugement, elles

tentent de répondre à la question de la valeur des constantes physiques, et

de la façon dont celles-ci ont permis l’émergence de la vie à ce stade de

l’évolution de l’Univers.

 

dimanche 28 octobre 2012

La conjecture ABC et le grand théorème de Fermat

On a aussi pas mal entendu dire que la conjecture ABC (voir le billet précédent) impliquait le théorème de Fermat pour de grandes valeurs de l'exposant n. rappelons que ce théorème dit que  l'équation x^n+y^n=z^n (on note ici x^n pour x à la puissance n) n'a pas de solutions non triviale en nombres entiers pour n supérieur ou égal à trois.


Si vous avez lu le billet précédent, et que vous adaptez le petit calcul qui a été fait pour les triangles de pythagore (A=a^2, B=b^2, C=-c^2) vous pouvez facilement comprendre l'idée générale de la démonstration.
Considérons une solution de A+B+C=0 qui serait de la forme    (A=a^n, B=b^n, C=-c^n) , avec a,b,c premiers, pour un certain nombre entier n ; le même calcul logarithmique que dans le billet précédent montre que la
puissance de cette solution est supérieure à n/3. Si n est supérieur ou égal à 4, cette puissance P est donc supérieure à 4/3. Or la conjecture ABC d'Oesterlé et Masser nous dit justement qu'il ne peut exister qu'un nombre fini de solutions de A+B+C=0 ayant une puissance supérieure à 4/3. On en déduit donc qu'il n'existe qu'un nombre fini de solutions de ce type de l'équation de Fermat quand l'exposant n  est supérieur ou égal à quatre. Attention, cette finitude est globale, et concerne la réunion des solutions pour  toutes les valeurs de n plus grandes que 4 qui est un ensemble fini. Par conséquent il existe donc un entier n0 tel que quand n est plus grand que n0, l'équation de Fermat n'a plus de solutions du type ci-dessus  (sans cela on trouverait une infinité de solutions de A+B+C=0 de puissance P supérieure à 4/3 ce qui contredit la conjecture ABC).
Nous n'avons toutefois pas démontré complètement que le  théorème de Fermat est vrai pour n supérieur ou égal à n0 (i.e. n assez grand) car nous avons seulement prouvé que pour n assez grand il n'y a plus de solutions formées de triplets de nombre premiers.  Cela dit l'idée de la démonstration peut s'adapter à des nombres premiers entre eux mais pas nécessairement premiers. La difficulté est que dans ce cas  le radical rad(ABC) n'est pas égal au produit abc .

samedi 27 octobre 2012

Sur la Conjecture ABC d'Oesterlé et Masser.

On parle beaucoup de la conjecture ABC depuis cet été, et on a pu lire beaucoup de choses là dessus
sur internet et dans la presse.. et même parfois des choses assez amusantes, comme cet article où on peut lire que la preuve de cette conjecture "permettrait de déterminer tous les triangles rectangles ...dont les côtés sont des nombres entiers".
Les lecteurs de Quadrature savent bien qu'on n'a pas attendu la conjecture ABC pour savoir déterminer les triplets pythagoriciens. Pour se documenter plus sérieusement sur la conjecture ABC on peut consulter un papier de Barry Mazur (disponible sur sa page de l'université d'Harvard) où il explique très bien le problème. Osterlé et Masser se sont intéressés à l'équation linéaire a+b+c=0, où a,b,c sont des entiers (relatifs) premiers entre eux. Par exemple comme : 2+3-5=0. Pour aller plus loin il faut définir le radical d'un nombre entier n comme le produit de ses diviseurs premiers. Par exemple le radical de 18 est 2 *3=6, que l'on note rad(18)=6  (toutes mes excuses pour la frappe mathématique de ce texte). Pour Mazur, un nombre n est hautement divisible par des puissances parfaites (highly divisble by perfect powers) si n est grand par rapport à son radical ; le cas typique et trivial étant celui des puissances d'un nombre premier : ainsi rad(2^100)=2 ; (on note ici 2^2 pour deux au carré). On va élargir cette notion de radical pour analyser la façon dont une solution (A,B,C) du problème A+B+C=0 est divisible par de grandes puissances. On définit la puissance P de cette solution de la manière suivante : supposons que C soit le plus grand des nombres en valeurs absolue, alors :
                         P = ln(|C|) / ln( rad(A.B.C)).
Une valeur élevée exprime que la solution A,B,C est hautement divisible. Examinons par exemple le cas d'un triplet pythagoricien : A=a^2, B=b^2, C=-c^2, où a,b,c sont des nombres premiers. Alors on peut estimer la puissance de cette solution comme suit :   
ln(|C|)= ln[ max(A,B,|C|)]  supérieur ou égal à  [ln A + ln B + ln |C| ]/3 =1/3* ln (AB|C|)

Mais A=a^2, B=b^2, C=-c^2, donc :ln( |ABC| )=2 ln (abc) et finalement :
ln(|C supérieur ou égal à  2/3 ln (abc) = 2/3 ln (rad(ABC)) 
 On a donc obtenu une estimation de la puissance du triplet pythagoricien :
P est supérieure ou égale à 2/3.
La conjecture d'Oesterlé et Masser s'exprime alors de la manière suivante :
Conjecture ABC : pour tout nombre e supérieur à 1, il existe seulement un nombre fini de solutions (A,B,C) dont la puissance est supérieure à e.

Shinichi Mochizuki

Comme le dit très bien Mazur, cette conjecture exprime parfaitement la rareté des solutions de l'équation linéaire divisible par de grandes puissances. C'est cette conjecture que le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki a annoncé avoir démontrée en août dernier sur sa page perso. De l'avis des spécialistes de la question, les méthodes de ce mathématicien et ses outils sont assez novateurs et la vérification de la preuve va donc être longue.


vendredi 26 octobre 2012

La fractale du choux fleur

Dans un article du 24 octobre publié dans le Journal of Physics
a été publiée une (nouvelle ? ) formule de construction de fractales reproduisant la diversification des
 rameaux des choux-fleurs. Les végétaux et leurs ramifications sont un terrain de prédilection pour les
constructeurs de fractales. L'un des auteurs de l'article Mario Castro a bien précisé que les succès de la géométrie fractale sont descriptifs mais pas explicatifs des lois physiques qui conduisent à la production de ces motifs dans la nature.
 Brassica oleracea var. botrytis

mardi 16 octobre 2012

Des lettres d'amour pour l'ordinateur

Dans le cadre de l'année Turing, nous signalons ici le projet artistique
et informatique de David Link, qui permet à un vieil ordinateur,
le Ferranti Mark I de 1951 d'écrire à nouveau des lettres d'amour.
Il s'agit d'un travail de restauration et de conservation de ces vieilles machines.
David Link a reçu à cette occasion le prix Tony Sale.
Tony Sale, décédé en 2011, était un ingénieur informaticien qui a reconstruit
le Colossus et fondé un musée du calcul informatique à Bletchley Park.
Il a fallu refaire un programme car l'original, écrit par le pionnier du software
Christopher Strachey dans les années 50 était perdu.Strachey, avec Alan Turing, a été un des
premiers a écrire des programme pour l'ordinateur Mark I de l'université de Manchester.

Pour des photos voir :
http://alpha60.de/loveletters/2012_dOCUMENTA13/